1.13 叠加定理

在分析包含两个或更多独立电源（电压源、电流源或两者都有）的线性电路时，超位置定理被广泛使用（特别是在不同频率下工作的时域电路中）。如果一个线性直流电路有多个独立电源，我们可以通过节点分析或网孔分析方法来计算通过电阻的电流和电阻两端的电压。

或者，我们可以使用超位置定理，该定理将每个独立电源对要确定的变量值的影响相加。这意味着超位置定理在给定电路中分别考虑每个电源，以确定变量的值（无论是电流还是电压），并最终通过将每个电源引起的变量相加来产生结果变量。尽管这是一个复杂的程序，但它仍然可以应用于任何线性电路。

超位置定理的表述

超位置定理指出，在包含两个或更多独立电源的线性双边网络中，通过（或跨过）元件的电流（或电压）是每个独立电源单独作用时通过（或跨过）该元件的电流（或电压）的代数和，而其他电源被其内部电阻替换。只要电源和其贡献之间存在线性关系，那么多个电源同时作用时的总贡献就等于每个电源单独作用时的贡献的代数和。

因此，如果电路中有 $N$ 个独立电源，我们需要分析 $N$ 个电路，每个电路都会产生一个与每个独立电源相关的结果。最后，这些单独的结果必须相加，以获得整个电路的完整分析。因此，这需要更多的工作，然而，这个定理在分析复杂电路的各个部分时非常有用。

超位置定理的分析步骤

1. 考虑给定电路中的各个独立电源。
2. 选择并保留其中一个独立电源，将所有其他电源替换为其内部电阻；或者将电流源替换为开路，电压源替换为短路。
3. 为了避免混淆，重新标记电压和电流符号。
4. 使用各种电路简化技术，计算单个电源作用下的所需电压/电流。
5. 对给定电路中的每个独立电源重复步骤 2 到 4。
6. 代数相加由每个独立电源产生的所有电压/电流（在相加时注意电压符号和电流方向）。

超位置定理示例 1：

1. 考虑下图所示的简单直流电路，应用超位置定理以获得跨过 10 欧姆电阻（负载端子）的电压。假设给定电路中有两个独立电源，分别为电压源和电流源，如下图所示。

2. 首先，保留一个电源，即电路中只有电压源作用，而电流源被其内部电阻（无穷大）替换，因此变成开路，如下图所示。

假设 $V_{L1}$ 是仅由电压源作用时负载端子两端的电压，则：

$V_{L1} = V_s \times \frac{R_L}{R_L + R_1} = 20 \times \frac{10}{10 + 20} = 6.66 \, \text{伏特}$

3. 仅保留电流源，将电压源替换为其内部电阻（零），因此变成短路，如下图所示。

假设 $V_{L2}$ 是仅由电流源作用时负载端子两端的电压。则：

$I_L = I \times \frac{R_1}{R_1 + R_L} = 1 \times \frac{20}{20 + 10} = 0.4 \, \text{安培}$ $V_{L2} = I_L \times R_L = 0.4 \times 10 = 4 \, \text{伏特}$

因此，根据超位置定理，负载两端的电压是 $V_{L1}$ 和 $V_{L2}$ 的和：

$V_L = V_{L1} + V_{L2} = 6.66 + 4 = 10.66 \, \text{伏特}$

超位置定理示例 2：

考虑下图所示的电路，我们将使用超位置定理来确定通过 4 欧姆电阻的电流 $I$。

假设 $I_1$、$I_2$ 和 $I_3$ 分别是 12V、20V 和 4A 电源产生的电流。那么，根据超位置定理，$I = I_1 + I_2 + I_3$。让我们分别计算这些电流。

仅保留 12V 电压源：

考虑下图所示的电路，其中仅保留 12V 电源，其他电源被其内部电阻替换。

将 6 欧姆电阻与 10 欧姆电阻组合，得到 16 欧姆电阻，该电阻与 6 欧姆电阻并联。然后这个组合产生：

$\frac{16 \times 6}{16 + 6} = 4.36 \, \text{欧姆}$

因此，等效电路如下图所示。

通过 4 欧姆电阻的电流为：

$I_1 = \frac{12}{8.36} = 1.43 \, \text{安培}$

仅保留 20V 电压源：

仅保留 20V 电压源，将其他电源替换为其内部电阻，电路如下图所示。

对回路 a 应用网孔分析，得到：

$22I_a - 6I_b + 20 = 0$ $22I_a - 6I_b = -20 \quad \quad \quad (1)$

对于回路 b，得到：

$10I_b - 6I_a = 0$ $I_a = \frac{10I_b}{6}$

将 $I_b$ 代入方程 (1)：

$22 \left( \frac{10I_b}{6} \right) - 6I_b = -20$ $I_b = -0.65$

因此，$I_2 = I_b = -0.65$

仅保留 4A 电流源：

考虑下图所示的电路，其中仅保留电流源，其他电源被其内部电阻替换。

在节点 2 应用节点分析，得到：

$4 = \frac{V_2}{10} + \frac{V_2 - V_1}{6} \quad \quad \quad (2)$

在节点 1，得到：

$\frac{V_1}{6} + \frac{V_1}{4} = \frac{V_2 - V_1}{6}$ $V_2 = 3.496 V_1$

将 $V_2$ 代入方程 (2)，得到：

$V_1 = 0.766 \, \text{伏特}$

因此，

$I_3 = \frac{V_1}{4} = \frac{0.766}{4} = 0.19 \, \text{安培}$

因此，根据超位置定理，$I = I_1 + I_2 + I_3$

$I = 1.43 - 0.65 + 0.19 = 0.97 \, \text{安培}$

交流电路中的超位置定理示例：

考虑下图所示的交流电路，我们将使用超位置定理来确定 4 欧姆电阻中的电流值。

情况 1：仅保留 20∠0 电压源

仅保留电压源时，电路中的电流为：

$I_1 = \frac{20∠0}{4 + j4} = \frac{20∠0}{5.65∠45} = 3.53∠-45 \, \text{或} \, 2.49 - j2.49 \, \text{A}$

情况 2：仅保留 4∠90 电流源

仅保留电流源时，电路中的电流 $I_2$ 为：

根据电流分配法：

$I_2 = 4∠90 \times \frac{4j}{4 + j4} = 4∠90 \times \frac{4∠90}{5.65∠45} = 4∠90 \times 0.707∠45 = 2.828∠135 \, \text{或} \, -1.99 + j1.99 \, \text{A}$

4 欧姆电阻中的总电流为：

$I = I_1 + I_2 = 3.53∠-45 + 2.828∠135 = 0.785∠45 \, \text{或} \, 0.56 + j0.56 \, \text{A}$

超位置定理的局限性

1. 功率计算不适用：超位置定理不能用于功率计算，因为该定理基于线性原理。功率方程是非线性的，它是电压和电流的乘积，或者是电流的平方或电压的平方。因此，使用超位置定理计算给定电路中元件消耗的功率是不可能的。

2. 负载变化时的复杂性：如果负载的选择是可变的，或者负载电阻频繁变化，则需要对每个负载电阻的变化重新计算每个电源对电流或电压的贡献及其总和。因此，对于复杂电路的分析，这是一个非常复杂的程序。

3. 仅适用于线性电路：该定理仅适用于线性电路。对于非线性电路（例如包含晶体管和二极管的电路），不能应用超位置定理。

4. 多电源电路：该定理仅在电路包含多个电源时适用。